La principale utilisation initiale des transformées de Laplace était (et est toujours) de résoudre les problèmes de valeur initiale pour les équations différentielles ordinaires et partielles linéaires. Elles peuvent réduire les équations différentielles ordinaires en équations algébriques, et les équations différentielles partielles en odes. Les équations transformées sont plus faciles à résoudre, puis la solution dans le domaine de Laplace est retransformée dans le domaine temporel, généralement en consultant une table de transformations de Laplace inverses ; si nécessaire en évaluant l'intégrale de contour de Bromwich dans le plan complexe.
Les techniques de transformation de Laplace ont rendu rigoureuses les méthodes d'opérateurs ad hoc antérieures, dans lesquelles la différentielle par rapport au temps est remplacée par un opérateur D, 1/D étant l'intégration. L'opérateur D est alors traité comme s'il s'agissait d'une quantité algébrique.
La technique des opérateurs a été pleinement développée par le physicien Oliver Heaviside en 1893, dans le cadre de ses travaux sur la télégraphie. Guidé grandement par l'intuition et sa richesse de connaissances sur la physique derrière ses études de circuit, Heaviside a développé le calcul opérationnel maintenant attribué à son nom.
Une justification mathématique rigoureuse des méthodes opérationnelles de Heaviside'n'est venue qu'après le travail de Bromwich qui a relié le calcul opérationnel aux méthodes de transformation de Laplace.
Réponse basée sur le matériel dans Wikipedia, ainsi que mon expérience en utilisant les transformations de Laplace depuis 1967.